Question

12．如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，BD⊥CD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A₁-BCD，则四面体A₁-BCD的体积的最大值为$\frac{1}{6}$，此时A₁C与平面A₁BD所成的角为45°．

Answer 1

分析 先根据条件证明△A₁CD为等腰直角三角形，得到∠A₁DC=45°，即可得到A₁C与平面A₁CD所成的角为45°，
再求出△A₁BD的面积，根据体积公式即可出四面体A₁-BCD的体积

解答 解：∵四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=$\sqrt{2}$，
由BD⊥CD，平面A₁BD⊥平面BCD，易得CD⊥平面A₁BD，
∴CD⊥A₁B，CD⊥A₁D，
∵A₁D=CD，
∴△A₁CD为等腰直角三角形，
∴∠A₁DC=45°，
则A₁C与平面A₁BD所成的角为45°，
又由AB=AD，BD=$\sqrt{2}$，
∵四面体A₁-BCD的体积V=$\frac{1}{3}$CD•S_△A1BD=$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$
故答案为：$\frac{1}{6}$，45°

点评 本题考查了棱锥的结构特征，以及棱柱的结构特征，熟练掌握空间位置关系与距离的判定是解本题的关键．