Question

20．已知向量$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos^2}\frac{x}{4}$），记f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零点个数．

Answer 1

分析 （1）通过平面向量数量积的运算，三角函数的恒等变形得到f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，根据正弦函数的性质求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）先求得y=g（x）-k的解析式，从而可求g（x）的值域，由函数y=g（x）的图象与直线y=k在$[0，\frac{7π}{3}]$的上有交点，可得实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos^2}\frac{x}{4}$），记f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
∴f（x）=$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$•cos$\frac{x}{4}$+${cos^2}\frac{x}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
则4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ-$\frac{4π}{3}$，4kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（2））∵将函数y=f（x）=sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位得到函数解析式为
：y=g（x）=sin[$\frac{1}{2}$（x-$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{3}$）]+$\frac{1}{2}$=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∴则y=g（x）-k=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$-k，
∵x∈[0，$\frac{7π}{3}$]，可得：-$\frac{π}{6}$≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$≤π，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
∴若函数y=g（x）-k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，$\frac{7π}{3}$]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，$\frac{3}{2}$]．
∴当k＜0或k＞$\frac{3}{2}$时，函数y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零点个数是0；
当0≤k＜1时，函数y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零点个数是2；
当k=0或k=$\frac{3}{2}$时，函数y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零点个数是1．

点评 本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．