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    12．已知正整数数列{an}满足a2=4，且对任意n∈N*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{{\frac{1}{a_n}+\frac{1}{{{a_{n+1}}}}}}{{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$
    （1）求a1，a3，并猜想数列{an}的通项公式；
    （2）由（1）的猜想，设数列{$\frac{1}{a_n}$}的前n项和为Sn，求证：Sn＜2．

    分析 （1）对任意n∈N*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$，可得n=1时，$2+\frac{1}{{a}_{2}}$＜2$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，化为：$\frac{2}{3}＜{a}_{1}＜\frac{8}{7}$，由a1是正整数，可得a1=1．当n=2时，可得：8＜a3＜10，可得a3=9，猜想an=n2．
    （2）由$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

    解答 （1）解：对任意n∈N*，有2+$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$＜$\frac{\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{a}_{n+1}}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}$＜2+$\frac{1}{a_n}$，可得n=1时，$2+\frac{1}{{a}_{2}}$＜2$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，∴$2+\frac{1}{4}$$＜2（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{4}）$$＜2+\frac{1}{{a}_{1}}$，化为：$\frac{2}{3}＜{a}_{1}＜\frac{8}{7}$，∵a1是正整数，∴a1=1．
    当n=2时，可得：8＜a3＜10，可得a3=9，猜想an=n2．
    （2）∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$，当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{n}}$≤$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，
    ∴Sn=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≤1+$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$=2-$\frac{1}{n}$＜2．
    ∴Sn＜2．

    点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法、放缩法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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    2．已知函数f（x）=|a2x2-1|+ax，（其中a∈R，a≠0）．
    （1）当a＜0时，若函数y=f（x）-c恰有x1，x2，x3，x4这4个零点，求x1+x2+x3+x4的值；
    （2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）（其中a＜0）的最大值M（a）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    3．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则该椭圆离心率e的取值范围为$[\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\sqrt{3}-1]$．

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    20．已知向量$\overrightarrow m$=（$\sqrt{3}sin\frac{x}{4}$，1），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{x}{4}$，${cos^2}\frac{x}{4}$），记f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
    （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
    （2）将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{2π}{3}$个单位得到y=g（x）的图象，讨论函数y=g（x）-k在$[0，\frac{7π}{3}]$的零点个数．

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    7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$ax2-3x，且f（x）在x=-1处取得极值．
    （Ⅰ）求a的值；
    （Ⅱ）求f（x）在[0，5]上的最值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    17．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M（2，1）．
    （1）求抛物线C的方程；
    （2）若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；
    （3）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1k2=-2时，试证明直线AB恒过定点，并求出该定点坐标．

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    4．已知数列{an}中，an=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，记f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an），试计算f（1），f（2），f（3）的值，推测f（n）的表达式为f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$．

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    1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且点$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F2与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k1，k2满足k1+k2=-1，求直线l的方程．

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    2．已知Sn是等比数列的前n项和，S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=-18．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）求数列{nan}的前n项和．

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