Question

4．已知数列{a_n}中，a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），试计算f（1），f（2），f（3）的值，推测f（n）的表达式为f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$．

Answer 1

分析 根据f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），依次求得f（1），f（2），f（3）的值，将结果转化为同一的结构形式，进而推广到一般得出f（n）的值．

解答 解：∵f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，
∴f（1）=$\frac{3}{4}$，f（2）=$\frac{3}{4}•\frac{8}{9}$=$\frac{4}{6}$，f（3）=$\frac{2}{3}•\frac{15}{16}$=$\frac{5}{8}$，…，
根据其结构特点可得：f（n）=$\frac{n+2}{2（n+1）}$．
故答案为：$\frac{n+2}{2（n+1）}$．

点评 本题主要通过求值，来考查数列的规律性，同时还考查学生概括，抽象，推理，从具体到一般的能力．