Question

7．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²-3x，且f（x）在x=-1处取得极值．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，5]上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过函数的极值点，即可求a的值；
（Ⅱ）利用第一问，通过函数的极值点，判断函数的单调性，求解函数的极值与端点值，即可得到结果．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=x²-ax-3，…．（1分）
因为f（x）在x=-1处取得极值，所以f'（-1）=（-1）²+a-3=0，…．（4分）
解得a=2，
经检验，a=2符合题意，因此a=2．…．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-{x^2}-3x$，f'（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令f'（x）=0，解得x₁=-1，x₂=3…．（8分）
当x变化时，f'（x）、f（x）的变化情况如表

x	0	（0，3）	3	（3，5）	5
f′（x）	0	-	0	+	0
f（x）	0	↘	-9	↗	$\frac{5}{3}$

…（10分）
由上表知：
当x=5时，f（x）有最大值$\frac{5}{3}$；当x=3时，f（x）有最小值-9．…（12分）

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性函数的最值的求法，考查计算能力．