Question

1．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且点$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F₂与椭圆C交于M，N两点，若AM，AN的斜率k₁，k₂满足k₁+k₂=-1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且点$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可；
（2）由（1）可得：左顶点A（-2，0），右焦点（1，0）．由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用斜率计算公式可得k₁+k₂=-1，$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-1，代入化简整理即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，且点$（1，\frac{3}{2}）$在椭圆上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）由（1）可得：左顶点A（-2，0），右焦点（1，0）．
由题意可知直线l不存在时不满足条件，可设直线l的方程为y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
联立椭圆方程，化为（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0．由题意可得△＞0．
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$．
∵k₁+k₂=-1，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$=-1，
化为k（x₁-1）（x₂+2）+k（x₂-1）（x₁+2）+（x₁+2）（x₂+2）=0，
整理为（2k+1）x₁x₂+（k+2）（x₁+x₂）+4-4k=0．
代入整理为k²-k=0，解得k=0或1．
k=0不满足题意，应舍去．
故k=1，此时直线l的方程为y=x-1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．