Question

6．若函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-x在区间（a²-26，a）上有最大值，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-1，5）
• B． （-1，5]
• C． （-1，2）
• D． （-1，2]

Answer 1

分析 求函数f（x）的导数，研究其最大值取到的位置，由于函数在区间（a²-26，a）上有最大值，故最大值点的横坐标是集合（a²-26，a）的元素，由此可以得到关于参数a的等式，解之求得实数a的取值范围．

解答 解：由题 f'（x）=x²-1，
令f'（x）＜0解得-1＜x＜1；令f'（x）＞0解得x＜-1或x＞1
由此得函数在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
故函数在x=-1处取到极大值$\frac{2}{3}$，判断知此极大值必是区间（a²-26，a）上的最大值
∴a²-26＜-1＜a，解得-1＜a＜5，
又当x=a时，f（a）=$\frac{1}{3}{a}^{3}-a≤\frac{2}{3}$，故有a≤-2或-1≤a≤2．
综上知a∈（-1，2]．
故选：D．

点评 本题考查用导数研究函数的最值，利用导数研究函数的最值是导数作为数学中工具的一个重要运用，要注意把握其作题步骤，求导，确定单调性，得出最值．