Question

10．已知数列{a_n}中，a₁=1，函数f（x）=-$\frac{2}{3}$x³+$\frac{a_n}{2}$x²-3a_n-1x+4在x=1处取得极值，则a_n=2•3^n-1-1．

Answer 1

分析 由已知可得x=1为导函数f′（x）=-2x²+a_nx-3a_n-1的零点，即a_n=3a_n-1+2，进而可得数列{a_n+1}是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，进而得到答案．

解答 解：∵函数f（x）=-$\frac{2}{3}$x³+$\frac{a_n}{2}$x²-3a_n-1x+4在x=1处取得极值，
∴x=1为导函数f′（x）=-2x²+a_nx-3a_n-1的零点，
即a_n=3a_n-1+2，
即a_n+1=3（a_n-1+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴数列{a_n+1}是一个以2为首项，以3为公比的等比数列，
故a_n+1=2•3^n-1，
故a_n=2•3^n-1-1，
故答案为：2•3^n-1-1

点评 本题考查的知识点是利用函数研究函数的极值，数列的递推公式，等比数列，难度中档．