Question

2．已知P为抛物线y²=6x上一点，点P到直线l：3x-4y+26=0的距离为d₁．
（1）求d₁的最小值，并求此时点P的坐标；
（2）若点P到抛物线的距离为d₂，求d₁+d₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）设$P（\frac{y_0^2}{6}，{y_0}）$，求出点P到直线l：3x-4y+26=0的距离为d₁，利用配方法求出最小值，可得此时点P的坐标；
（2）设抛物线的焦点为F，则$F（\frac{3}{2}，0）$，且d₂=|PF|，d₁+d₂=d₁+|PF|，它的最小值为点F 到直线l 的距离．

解答 解：（1）设$P（\frac{y_0^2}{6}，{y_0}）$，则${d_1}=\frac{{|\frac{1}{2}y_0^2-4{y_0}+26|}}{5}=\frac{1}{10}|{（{y_0}-4）^2}+36|$，
当y₀=4 时，（d₁）_min=3.6，此时${x_0}=\frac{y_0^2}{6}=\frac{8}{3}$，∴当$P（\frac{8}{3}，4）$ 时，（d₁）_min=3.6．
（2）设抛物线的焦点为F，则$F（\frac{3}{2}，0）$，且d₂=|PF|，
∴d₁+d₂=d₁+|PF|，它的最小值为点F 到直线l 的距离$\frac{{|\frac{9}{2}+26|}}{5}=6.1$．
∴（d₁+d₂）_min=6.1．

点评 本题考查抛物线的方程与定义，考查点到直线的距离公式，考查学生的转化能力，属于中档题．