Question

3．已知函数f（x）=x²+2x-3，g（x）=$\frac{klnx}{x}$，且函数f（x）与g（x）的图象在x=1处的切线相同．
（1）求k的值；
（2）令F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|（x≤1）}\\{g（x）（x＞1）}\end{array}\right.$，若函数y=F（x）-m存在3个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数f′（x）=2x+2，求出切线方程，利用函数f（x）与g（x）的图象在x=1处的切线相同，列出关系式求解即可．
（2）化简F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|（x≤1）}\\{g（x）（x＞1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+2x-3|，x≤1}\\{\frac{4lnx}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，通过当x＞1时，函数的图形的变化情况，求出函数的极值，画出函数的图象，然后求解m的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）已知函数f（x）=x²+2x-3，
函数f′（x）=2x+2，则f′（1）=4，又f（1）=0，所以f（x）在x=1处的切线方程为y=4x-4，
又因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处的切线相同，g′（x）=$\frac{k（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
所以g′（1）=k=4．（4分）
（2）令F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|f（x）|（x≤1）}\\{g（x）（x＞1）}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{|{x}^{2}+2x-3|，x≤1}\\{\frac{4lnx}{x}，x＞1}\end{array}\right.$，
当x＞1时，F（x）=$\frac{4lnx}{x}$，F′（x）=$\frac{4-4lnx}{{x}^{2}}$，可得函数F（x）在x=e处的极大值为：$\frac{4}{e}$，
当x→+∞时，图象趋近于x轴．
函数F（x）的大致图象如图所示，
可知函数y=F（x）-m存在3个零点时，
m的取值范围是（$\frac{4}{e}$，4）．（12分）

点评 本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，以及函数图象的判定，考查学生解决问题的综合能力．