Question

12．已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，AD=AC=BD=2，CD=2$\sqrt{2}$，∠BDC=90°，平面ADC⊥平面BDC，则球O的体积为4$\sqrt{3}$π．

Answer 1

分析 由题意，BC的中点O′是△DBC外接圆的圆心，设球心为O，OO′=d，球的半径为R，则由勾股定理可得R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，求出球的半径，即可求出球O的体积．

解答 解：由题意，BC的中点O′是△DBC外接圆的圆心，设球心为O，OO′=d，球的半径为R，则
由勾股定理可得R²=d²+（$\sqrt{3}$）²=1²+（$\sqrt{2}$-d）²，∴R=$\sqrt{3}$，
∴球O的体积为$\frac{4}{3}•（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}$π．
故答案为4$\sqrt{3}$π．

点评 本题考查球O的体积，考查学生的计算能力，求出球O的半径是关键．