Question

17．已知二次函数f（x）=x²-mx+1，
（1）若函数y=f（x）是偶函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数g（x）=f（x）+（2m-1）x-9，且?m∈[-1，3]，都有g（x）≤0恒成立，求实数x的取值范围；
（3）若函数h（x）=f（x）-（1-m）x²+2x，求函数y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）．

Answer 1

分析 （1）偶函数f（-x）=f（x）⇒x²+mx+1=x²-mx+1，可求实数m的取值范围；
（2）?m∈[-1，3]，g（x）=f（x）+（2m-1）x-9=x²+（m-1）x-8≤0恒成立?$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+2x-8≤0}\end{array}\right.$，解之即得实数x的取值范围；
（3）若函数h（x）=f（x）-（1-m）x²+2x=mx²+（2-m）x+1，分$0＜m≤\frac{2}{3}$、m＞$\frac{2}{3}$、当m＜0及m=0四类讨论，即可求得函数y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）．

解答 解：（1）函数y=f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）
∴x²+mx+1=x²-mx+1，∴2mx=0，
∴m=0．…4分
（2）g（x）=f（x）+（2m-1）x-9=x²+（m-1）x-8，
∵?m∈[-1，3]，都有g（x）≤0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-8≤0}\\{{x}^{2}+2x-8≤0}\end{array}\right.$，…7分
∴实数x的取值范围[-2，2]…10分
（3）h（x）=mx²+（2-m）x+1
①当$0＜m≤\frac{2}{3}$时，函数y=h（x）的对称轴$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}＜-1$，
∴函数y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）=h（-1）=2m-1；
②当m＞$\frac{2}{3}$时，函数y=h（x）的对称轴$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}∈[{-1，1}]$，∴函数y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值$H（m）=h（\frac{m-2}{2m}）=2-\frac{m}{4}-\frac{1}{m}$…13分
③当m＜0时，函数y=h（x）的对称轴$x=\frac{m-2}{2m}=\frac{1}{2}-\frac{1}{m}＞0$，∴函数y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）=h（-1）=2m-1
④当m=0时，函数y=h（x）=2x+1∴函数y=h（x）在x∈[-1，1]的最小值H（m）=h（-1）=-1
综上：$H（m）=\left\{\begin{array}{l}2m-1，m≤\frac{2}{3}\\ 2-\frac{m}{4}-\frac{1}{m}，m＞\frac{2}{3}\end{array}\right.$…16分

点评 本题考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质，突出考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，属于难题．