Question

2．已知函数f（x）=4x+$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$，（x＞0），记m=f_min（x）；
（1）求m；
（2）解关于x的不等式|x-2|+|x-1|≥m．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式求得f（x）的最小值，可得m的值．
（2）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵函数f（x）=4x+$\frac{1}{{\sqrt{x}}}$=4x+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥3$\root{3}{4x•\frac{1}{2\sqrt{x}}•\frac{1}{2\sqrt{x}}}$=3，当且仅当4x=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$时，取等号．
记m=f_min（x），则m=3．
（2）关于x的不等式|x-2|+|x-1|≥m，即|x-2|+|x-1|≥3，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-x+1-x≥3}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤2}\\{2-x+x-1≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-2+x-1≥3}\end{array}\right.$③．
解①求得x≤0，解②求得x∈∅，解③求得x≥3，
故原不等式的解集为{x|x≤0，或x≥3 }．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．