Question

7．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别F₁（-c，0），F₂（c，0），若椭圆上存在点P，使得csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁≠0，则离心率e的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\sqrt{2}-1，1）$
• C． $[\sqrt{2}-1，1）$
• D． $（0，\sqrt{2}-1]$

Answer 1

分析 由正弦定理及椭圆的离心率公式可知：椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨P{F}_{2}丨}$=e，作出椭圆的左准线l，作PQ⊥l于Q，根据椭圆的第二定义得|PQ|=|PF₂|=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{e}$．设P（x，y），将|PF₁|、|PF₂|表示为关于a、c、e、x的式子，利用|PF₂|+|PF₁|=2a，解出x═$\frac{ae-a}{e（e+1）}$．最后根据椭圆上点的横坐标满足-a≤x≤a，建立关于e的不等式并解得e＜-1-$\sqrt{2}$或e＞$\sqrt{2}$，根据椭圆离心率的取值范围，即可得到该椭圆离心率的取值范围．

解答 解：∵△PF₁F₂中，由正弦定理得$\frac{丨P{F}_{1}丨}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{丨P{F}_{2}丨}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨P{F}_{2}丨}$=$\frac{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$．
又∵csin∠PF₁F₂=asin∠PF₂F₁，
∴椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$，由此可得$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨P{F}_{2}丨}$=e，
作出椭圆的左准线l，设P在l上的射影为点Q，连结PQ，
由椭圆的第二定义，得$\frac{丨P{F}_{1}丨}{丨PQ丨}$=e，
因此|PQ|=|PF₂|=$\frac{丨P{F}_{1}丨}{e}$．
设P（x，y），可得|PQ|=x+$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∴|PF₂|=x+$\frac{{a}^{2}}{c}$，|PF₁|=e|PF₂|=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）．
由椭圆的第一定义，得|PF₂|+|PF₁|=2a，即（1+e）（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$）=2a，解得x=$\frac{2a}{1+e}$-$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{ae-a}{e（e+1）}$．
∵P（x，y）为椭圆上一点，满足-a＜x＜a，
∴-a＜$\frac{ae-a}{e（e+1）}$＜a，即-1＜$\frac{e-1}{e（e+1）}$＜1，
解得e＜-1-$\sqrt{2}$或e＞$\sqrt{2}$，
∵椭圆的离心率e∈（0，1），
∴该椭圆离心率的取值范围是（$\sqrt{2}$-1，1）．
故选B．

点评 本题考查椭圆的第二定义的应用，考查离心率的取值范围．着重考查了正弦定理、椭圆的定义与简单几何性质和不等式的解法等知识，属于难题．