Question

17．已知函数$f（x）=\frac{{{x^2}+a}}{x}，且f（1）=2$
（1）证明函数f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）由解析式先求出函数的定义域，化简f（x）和f（-x）后，由函数奇偶性的定义即可证明；
（2）根据函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论，进行证明即可．

解答 （1）证明：f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
∵f（1）=2，∴1+a=2，即a=1
∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$，f（-x）=-x-$\frac{1}{x}$=-f（x），
∴f（x）是奇函数．
（2）证明：任取x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{1}{x1}$-（x₂+$\frac{1}{x2}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
∵x₁＜x₂，且x₁x₂∈（1，+∞），
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数．

点评 本题考查函数奇偶性的定义，函数单调性的定义：取值、作差、变形、定号、下结论的应用，考查化简、变形能力，属于中档题．