Question

5．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$≤$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1变形为：a_n+1+1=2（a_n+1）．利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$，即证：$\frac{1}{6}≤\sum{（\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}}）}＜\frac{1}{3}$．利用数列的单调性及其放缩法即可证明．

解答 （Ⅰ）解：由a_n+1=2a_n+1变形为：a_n+1+1=2（a_n+1）．
∴数列{a_n+1}是等比数列，公比为2，首项为2．
∴a_n+1=2ⁿ．
∴${a_n}={2^n}-1$．
（Ⅱ）证明：$\frac{1}{2}$-$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n+1}-1}$=$\frac{1}{2（{2}^{n+1}-1）}$，即证：$\frac{1}{6}≤\sum{（\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}}）}＜\frac{1}{3}$．
一方面，∵$\frac{1}{{2（{2^{n+1}}-1）}}＞0$，∴$\sum{（\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}}）}$递增，∴$\sum{（\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}}）}≥\frac{1}{2}-\frac{{{2^1}-1}}{{{2^{1+1}}-1}}=\frac{1}{6}$．
另一方面，先证：$\frac{1}{{2（{2^{n+1}}-1）}}≤\frac{1}{6}•\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$，
∴$\sum{（\frac{1}{2}-\frac{{{2^n}-1}}{{{2^{n+1}}-1}}）}≤\frac{1}{3}（1-\frac{1}{2^n}）＜\frac{1}{3}$，
综上可得：$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{3}$＜$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$≤$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、放缩法、数列的单调性，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于难题．