Question

12．点P到A（-2，0）的距离是点P到B（1，0）的距离的2倍．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）点P与点Q关于点（2，1）对称，点C（3，0），求|QA|²+|QC|²的最大值和最小值．
（Ⅲ）若过A的直线从左向右依次交第（II）问中Q的轨迹于不同两点E，F，$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{EA}$，判断λ的取值范围并证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求出Q的轨迹方程，令z=|QA|²+|QC|²=（x+2）²+y²+（x-3）²+y²=6x+8y+5，所以6x+8y+5-z=0，利用直线与圆的位置关系，即可求|QA|²+|QC|²的最大值和最小值；
（Ⅲ）设过A的直线方程为x=ty-2（一定存在），与Q的轨迹方程联立，消去x得（1+t²）y²-（8t+4）y+16=0，利用韦达定理，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（I）设点P（x，y），由题意可得|PA|=2|PB|，即$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=2$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$．
化简可得（x-2）²+y²=4．（4分）
（II）设Q（x₀，y₀），由题可得x=4-x₀，y=2-y₀代入上式消去可得（x₀-2）²+（y₀-2）²=4，即Q的轨迹方程为（x-2）²+（y-2）²=4，即x²+y²+4=4x+4y．（6分）
令z=|QA|²+|QC|²=（x+2）²+y²+（x-3）²+y²=6x+8y+5，所以6x+8y+5-z=0，
d=$\frac{|33-z|}{10}$≤2，所以13≤z≤53．
因此|QA|²+|QC|²的最大值为53，最小值为13．（9分）
（III）λ的取值范围是（1，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]．（10分）
证明：设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）且y₁＜y₂．
因为$\overrightarrow{FA}$=λ$\overrightarrow{EA}$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+2=λ（{x}_{1}+2）}\\{{y}_{2}=λ{y}_{1}}\end{array}\right.$，且λ＞1．（11分）
设过A的直线方程为x=ty-2（一定存在），与Q的轨迹方程联立，消去x得（1+t²）y²-（8t+4）y+16=0．
△＞0，解得t＞$\frac{3}{4}$．
而y₁+y₂=$\frac{8t+4}{1+{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{16}{1+{t}^{2}}$，$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}+\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$+2=$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$，
因此$λ+\frac{1}{λ}$+2=4+$\frac{4t-3}{1+{t}^{2}}$=4+$\frac{16}{（4t-3）+\frac{25}{4t-3}+6}$≤5，当且仅当t=2时等号成立．
所以$λ+\frac{1}{λ}$-3≤0（k＞1），解得1＜λ≤$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．（14分）

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．