Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0）
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）已知过点（-1，0）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且|FA|=2|FB|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0），求出p，即可求抛物线的方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|FA|=2|FB|，得2x₂=x₁-1，将直线与抛物线方程联立可得x₁+x₂，x₁x₂ 的值，解出k，从而问题得解．

解答 解：（Ⅰ）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F（1，0）
∴p=2，
∴抛物线的方程为y²=4x；
（Ⅱ）设直线y=k（x+1）
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}$得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$-2①，x₁x₂=1②，
∵|FA|=2|FB|，∴2x₂=x₁-1③
①②③联立解得k=±$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴直线方程$l：y=\frac{2}{3}\sqrt{2}（x+1）$或$l：y=-\frac{2}{3}\sqrt{2}（x+1）$

点评 本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．