Question

4．已知函数f（x）=ln$\sqrt{1+2x}$+mx．
（Ⅰ）若f（x）为定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）当m=0，且0≤b＜a≤1时，证明：$\frac{4}{3}$＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性确定m的范围即可；
（Ⅱ）代入m的值，求出函数的导数，根据函数的单调性结合a，b的范围证明即可．

解答 解：（I）f（x）=$\frac{1}{2}$ln（1+2x）+mx（x＞-$\frac{1}{2}$），
∴f′（x）=$\frac{1}{1+2x}$+m（2分），
对x＞-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{1+2x}$＞0，
故不存在实数m，使f′（x）=$\frac{1}{1+2x}$+m＜0对x＞-$\frac{1}{2}$恒成立，（4分）
由f′（x）≥0对x＞-$\frac{1}{2}$恒成立得，m≥-$\frac{1}{1+2x}$对x＞-$\frac{1}{2}$恒成立，
而-$\frac{1}{1+2x}$＜0，故m≥0；经检验，当m≥0时，f′（x）＞0对x＞-$\frac{1}{2}$恒成立
∴当m≥0时，f（x）为定义域上的单调递增函数．----------（6分）
（II）当m=1时，令g（x）=f（x）-$\frac{4}{3}$x=$\frac{1}{2}$ln（1+2x）-$\frac{1}{3}$x，
g′（x）=$\frac{2（1-x）}{3（1+2x）}$，
在[0，1]上总有g′（x）≥0，即g（x）在[0，1]上递增；
∴当0≤b＜a≤1时，g（a）＞g（b），
即$f（a）-\frac{4}{3}a＞f（b）-\frac{4}{3}b⇒\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＞\frac{4}{3}$=1 ①------------------（9分）
令$h（x）=f（x）-2x=\frac{1}{2}ln（1+2x）-x$，${h^'}（x）=\frac{1}{1+2x}-1=\frac{-2x}{1+2x}＜0$，
知h（x）在[0，1]上递减，∴h（a）＜h（b）
即$f（a）-2a＜f（b）-2b⇒\frac{f（a）-f（b）}{a-b}＜2$②-----------------------------（11分）
由 ①②知，当0≤b＜a≤1时，$\frac{4}{3}$＜$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＜2．---------------（12分）

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．