Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，坐标原点到直线l：y=bx+2的距离为$\sqrt{2}$，
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过点E（-1，0）？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直线l：y=bx+2，椭圆的离心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，坐标原点到直线l的距离为$\sqrt{2}$，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．

解答 解：（1）直线l：y=bx+2，坐标原点到直线l的距离为$\sqrt{2}$．
∴$\frac{2}{\sqrt{{b}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$
∴b=1
∵椭圆的离心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²，
∴a²=3
∴所求椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$
∵$\overrightarrow{EC}$=（x₁+1，y₁），$\overrightarrow{ED}$=（x₂+1，y₂），且以CD为圆心的圆过点E，
∴EC⊥ED
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$+（2k+1）×（-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$）+5=0
解得k=$\frac{7}{6}$＞1，
∴当k=$\frac{7}{6}$时，以CD为直径的圆过定点E．

点评 本题考查椭圆的标准方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．