Question

15．关于θ的方程$\sqrt{3}$cosθ+sinθ+a=0在（0，2π）内有两相异实根α、β，则α+β的值为$\frac{π}{3}$或$\frac{7π}{3}$．

Answer 1

分析 由题意变形可得a=-2sin（α+$\frac{π}{3}$）=-2sin（β+$\frac{π}{3}$），利用正弦函数的图象和性质可求对称轴，进而可求α+β的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$cosθ+sinθ+a=0，
∴a=-（$\sqrt{3}$cosθ+sinθ）=-2sin（θ+$\frac{π}{3}$），
由题意可得a=-2sin（α+$\frac{π}{3}$）=-2sin（β+$\frac{π}{3}$），
∴α+β=2×$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或2×$\frac{7π}{6}$=$\frac{7π}{3}$．
故答案为：$\frac{π}{3}$或$\frac{7π}{3}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．