Question

13．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为f（x）的上界．已知函数$f（x）=1+a{（\frac{b}{2}）^x}+{（\frac{c}{4}）^x}$．
（Ⅰ）当a=b=c=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否有上界，请说明理由；
（Ⅱ）若b=c=1，函数f（x）在[0，+∞）是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）已知s为正整数，当a=1，b=-1，c=0时，是否存在整数λ，使得对任意的n∈N^•，不等式s≤λf（n）≤s+2恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=b=c=1时，$f（x）=1+{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$，则f（x）在（-∞，0）上单调递减，进而可得f（x）在（-∞，0）上的值域为（3，+∞），并可判断出函数f（x）在（-∞，0）上没有上界．
（Ⅱ） 由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．令$t={（\frac{1}{2}）^x}，0＜t≤1$，可得实数a的取值范围．
（Ⅲ）已知s为正整数，当a=1，b=-1，c=0时，存在λ=10使得对任意的n∈N^•，不等式s≤λf（n）≤s+2恒成立，分类讨论，可得结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=b=c=1时，$f（x）=1+{（\frac{1}{2}）^x}+{（\frac{1}{4}）^x}$，
易知f（x）在（-∞，0）上单调递减，∴f（x）＞f（0）=3．
∴f（x）在（-∞，0）上的值域为（3，+∞）．
∴不存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M成立，
∴f（x）在（-∞，0）上没有上界．
（Ⅱ） 由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
令$t={（\frac{1}{2}）^x}，0＜t≤1$，
∴题意等价于-3≤1+at+t²≤3在t∈（0，1]上恒成立．
$?-\frac{4}{t}-t≤a≤\frac{2}{t}-t$在t∈（0，1]上恒成立．$?{（{-\frac{4}{t}-t}）_{max}}≤a≤{（{\frac{2}{t}-t}）_{min}}$．
设$g（t）=-\frac{4}{t}-t，h（t）=\frac{2}{t}-t，0＜t≤1$易知h（t）在（0，1]上递减．
令0＜t₁＜t₂≤1，有$g（{t_1}）-g（{t_2}）=（-\frac{4}{t_1}-{t_1}）-（-\frac{4}{t_2}-{t_2}）=\frac{{（{t_2}-{t_1}）（{t_2}{t_1}-4）}}{{{t_1}{t_2}}}＜0$
∴g（t）在（0，1]上递增．
∴g（t）_max=g（1）=-5，h（t）_min=h（1）=1．
∴实数a的取值范围是[-5，1]．
（Ⅲ）当a=1，b=-1，c=0时，$f（n）=1+{（-\frac{1}{2}）^n}＞0$，
∴题意等价于$\frac{s}{{1+{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}≤λ≤\frac{s+2}{{1+{{（-\frac{1}{2}）}^n}}}$对任意的n∈N^•恒成立．
∵当n为正奇数时，$\frac{1}{2}≤1+{（-\frac{1}{2}）^n}＜1$；当n为正偶数时，$1＜1+{（-\frac{1}{2}）^n}≤\frac{5}{4}$，
∴$2s≤λ≤\frac{4}{5}（s+2）$．
∴当$2s＞\frac{4}{5}（s+2）$，即$s＞\frac{4}{3}$时，不存在满足题意的λ；
当$2s≤\frac{4}{5}（s+2）$，即$0＜s≤\frac{4}{3}$时，存在满足题意的λ，且$λ∈[{2s，\frac{4}{5}（s+2）}]$．
∵s为正整数，∴s=1．
此时，$λ∈[{2，\frac{12}{5}}]$，∵λ为整数，∴λ=10．

点评 本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的图象和性质，函数恒成立问题，转化思想，难度中档．