Question

2．如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ABC=60°，PA=AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD
（1）求PB与AC所成角的大小
（2）求A点到平面PBC的距离h．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥平面PAB，即可判定PB⊥AC，即可求出PB与AC所成角的大小
（2）先求出V_P-ABC，再求出S_△PBC，即可求出h的距离．

解答 解：：（1）∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
在△ABC中，∠ABC=60°，BC=2，AB=1，
∴AC²=AB²+BC²-2 AB•BC cos60°=1+4-2=3，则AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC；
又PA∩AB=A，
∴AC⊥平面PAB，
∵PB?平面PAB，
∴PB⊥AC，
∴PB与AC所成角的大小为90°，
（2）：由（1）可知，∠ABC=60°，BC=2，AB=1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵PA⊥底面ABCD，
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}$×S_△ABC×PA=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
在Rt△PAB中，∵AB=PA=1，
∴PB=$\sqrt{2}$，
在Rt△PAC中，
∴PC=$\sqrt{P{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{1+3}$=2，
在△PBC中，由余弦定理可得，
cos∠PCB=$\frac{{2}^{2}+{2}^{2}-2}{2×2×2}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠PCB=$\sqrt{1-\frac{9}{16}}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴V_A-PBC=$\frac{1}{3}$×S_△PBC×h=$\frac{\sqrt{7}}{6}$h，
∴$\frac{\sqrt{7}}{6}$h=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$
故A点到平面PBC的距离h=$\frac{\sqrt{21}}{7}$

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查A到平面PBC的距离，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．