Question

11．已知函数$f（x）=sin（{x+\frac{7}{4}π}）+cos（{x-\frac{3}{4}π}）$
（1）求f（x）的最小正周期和最小值；
（2）已知cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，求$f（{2β-\frac{π}{4}}）$的值．

Answer 1

分析 （1）先利用诱导公式和辅助角公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值．
（2）求出$f（{2β-\frac{π}{4}}）$化简，利用cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，构造出α，β的关系．从而可以求值．

解答 解：函数$f（x）=sin（{x+\frac{7}{4}π}）+cos（{x-\frac{3}{4}π}）$
化解：f（x）=sin（2π-$\frac{π}{4}$+x）+cos（-π+$\frac{π}{4}$+x）=-sin（$\frac{π}{4}$-x）-cos（$\frac{π}{4}$+x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$）
（1）函数的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$；
∵sin的最小值为-1，
∴f（x）的最小值为：-2．
（2）∵f（x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$）
∴$f（{2β-\frac{π}{4}}）$=2sin（2β-$\frac{π}{2}$）=-2cos2β．
又∵cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，
∵0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{2}$＜β-α＜0，0＜β+α＜π，
∴sin（β-α）=-$\frac{3}{5}$，cos（β+α）=$\frac{3}{5}$
∵cos2β=cos[（β-α）+（β+α）]=$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{24}{25}$
故得$f（{2β-\frac{π}{4}}）$=-cos2β=-$\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，两角和与差的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．