Question

3．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，θ为参数，以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；
（2）若M（2，0），N为曲线C上的任意一点，求线段MN中点的轨迹的普通方程．

Answer 1

分析 （1）先将曲线C的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；
（2）设线段MN中点为P（x，y）、N（x₁，y₁），由中点坐标公式求出x₁和y₁，代入圆的方程化简化简即可．

解答 解：（1）因为曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2sinθ\end{array}\right.$，θ为参数，
所以曲线C的普通方程为：x²+y²=4，
则曲线C的极坐标方程为：ρ=2；
（2）设线段MN中点为P（x，y），N（x₁，y₁），
因为M（2，0），所以2x=2+x₁，2y=0+y₁，
则x₁=2x-2，y₁=2y，
代入x²+y²=4 得，（2x-2）²+（2y）²=4，
化简得，（x-1）²+y²=1．

点评 本题考查了参数方程、普通方程、极坐标方程之间的互化，中点坐标公式，以及轨迹方程的求法，考查化简、变形能力．