Question

14．已知函数f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，且有g（1）=0，当x＞0时，有f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，则f（x）g（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＞0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＜0时也是增函数，最后根据g（1）=0可求得答案．

解答 解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0，
f（x）g（x）在x＞0时递增，
又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，
∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，
∴f（x）g（x）在x＜0时也是增函数．
∵f（1）g（1）=0，
∴f（-1）g（-1）=0
∴f（x）g（x）＞0的解集为：x＞1或-1＜x＜0
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，根据导数的正负可以确定函数的单调性，利用数形结合的思想进行解题．属于中档题．