Question

4．已知椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，则△PF₁F₂内切圆半径的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 找出△PF₁F₂内切圆半径与P点纵坐标的关系，要使△PF₁F₂内切圆半径最大可得P点的纵坐标最大，由此求得△PF₁F₂内切圆半径的最大值．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{16}$=1，得a²=25，b²=16，∴c²=a²-b²=9，则c=3，
如图，

∵${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•|{y}_{P}|$=$\frac{1}{2}（|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|+|{F}_{1}{F}_{2}|）•r$，
∴2c•|y_P|=（2a+2c）•r，则r=$\frac{3}{8}$|y_P|，
要使△PF₁F₂内切圆半径最大，则需|y_P|最大，
∵|y_P|≤b=4，
∴△PF₁F₂内切圆半径的最大值为$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，是中档题．