Question

12．已知f（x）=sinx-cosx+1，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）的递增区间．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，结合三角函数的图象和性质可得最大值，
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：（1）f（x）=sinx-cosx+1，x∈R．
化简得：f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1 
函数的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{1}=2π$．
∵sin（x-$\frac{π}{4}$）的最大值为1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1的最大值为$\sqrt{2}+1$，
即y_max=$\sqrt{2}+1$．
   （2）三角函数的图象和性质可得：（x$-\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]是单调递增区间，即-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x$-\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得：-$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{3π}{4}$+2kπ，
故得x∈[-$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{3π}{4}$+2kπ]，k∈Z，是函数f（x）单调递增区间，

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于基础题．