Question

7．如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N）个点，每个图形总的点数记为a_n，则a₆=15；$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2015}}{a_{2016}}}}$=$\frac{2014}{2015}$．

Answer 1

分析 根据图象的规律可得出通项公式a_n，根据数列的特点可用列项法求其前n项和的公式，而$\frac{9}{{{a_2}{a_3}}}$+$\frac{9}{{{a_3}{a_4}}}$+$\frac{9}{{{a_4}{a_5}}}$+…+$\frac{9}{{{a_{2015}}{a_{2016}}}}$是前2014项的和，代入前n项和公式即可得到答案．

解答 解：每个边有n个点，把每个边的点数相加得3n，这样角上的点数被重复计算了一次，故第n个图形的点数为3n-3，即a_n=3n-3，∴a₆=15；
令S_n=$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$=$\frac{2014}{2015}$．
故答案为15；$\frac{2014}{2015}$

点评 本题主要考查简单的和清推理，求等差数列的通项公式和用裂项法对数列进行求和问题，同时考查了计算能力，属中档题．