Question

20．在棱长为6的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别是A₁B、CC₁的中点，设过D、M、N三点的平面与B₁C₁交于点P，则PM+PN的值为5+$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 过D，M，N三点的平面是△DQE，且PC₁=4，PB₁=2，C₁N=B₁M=3，由此能求出PM+PN的值．

解答 解：延长D₁C₁，在D₁C₁的延长线上取点E，使C₁E为6，
延长D₁A₁，在D₁A₁的延长线上取点Q，
使A₁D为2，
连结DQ，交AA₁于R，
连结EQ，交A₁B₁于M，交B₁C₁于P，
连结PN，MR．
∵NC₁∥DD₁，∴$\frac{EN}{ED}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵PC₁∥QD₁，∴$\frac{EP}{EQ}=\frac{E{C}_{1}}{E{D}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴PN∥DR，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又PN?平面BB₁C₁C，∴D，M，N点的平面与平面BB₁C₁C的交线为PN．
同理，MR∥DN，
∴D，R，Q，M，P，N，E共面，
又MR?平面AA₁B₁B，∴过D，M，N点的平面与平面BB₁C₁C的交线为MR．
∴过D，M，N三点的平面是△DQE，
且PC₁=4，PB₁=2，C₁N=B₁M=3，
∴PM+PN=$\sqrt{13}$+5
故答案为5+$\sqrt{13}$．

点评 本题考查平面与平面的交线的作法，考查线段和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面的基本性质及推论的合理运用．