Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上．
（1）若EF⊥PA，求$\frac{PF}{PA}$的值；
（2）求二面角P-BD-E的大小．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出$\frac{PF}{PA}$的值．
（2）求出平面BDP的法向量和设平面BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小．

解答 解：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上，
∴P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，1），
设F（a，0，c），$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PA}$，则（a，0，c-2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ），
∴a=2λ，c=2-2λ，F（2λ，0，2-2λ），
$\overrightarrow{EF}$=（2λ，-1，1-2λ），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），
∵EF⊥PA，∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{PA}$=4λ-2+4λ=0，解得$λ=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{PF}{PA}$=$\frac{1}{4}$．
（2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），
$\overrightarrow{DP}$=（0，0，2），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1），
设平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
设二面角P-BD-E的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴二面角P-BD-E的大小为arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．