Question

10．已知点M是⊙O：x²+y²=4上一动点，A（4，0），点P为线段AM的中点，
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）过点A的直线与轨迹C有公共点，求的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设AM中点P（x，y），则M（2x-4，2y），代入圆的方程得点P的轨迹C的方程；
（2）过点A的直线与轨迹C有公共点，圆心（2，0）到直线的距离d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，即可求斜率k的取值范围．

解答 解：（1）设AM中点P（x，y），则M（2x-4，2y），
代入圆的方程得（2x-4）²+4y²=4，即（x-2）²+y²=1．
（2）设过点A的直线方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，
∵过点A的直线与轨迹C有公共点，
∴圆心（2，0）到直线的距离d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．