Question

18．已知x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x-1}$的两个零点，若a∈（x₁，1），b∈（1，x₂），则（　　）

• A． f（a）＜0，f（b）＜0
• B． f（a）＞0，f（b）＞0
• C． f（a）＞0，f（b）＜0
• D． f（a）＜0，f（b）＞0

Answer 1

分析 令函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x-1}$=0，利用图象求出零点的位置，数形结合法，可得答案．

解答 解：已知x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x-1}$的两个零点，
令函数f（x）=lnx-$\frac{1}{x-1}$=0，可得lnx=$\frac{1}{x-1}$，
则函数y=lnx与y=$\frac{1}{x-1}$的图象如下
当a∈（x₁，1）时，
则lna＞$\frac{1}{a-1}$，
∴则f（a）=lna-$\frac{1}{a-1}$＞0，
同理：当b∈（1，x₂），
则lnb＜$\frac{1}{b-1}$，
∴则f（b）=lna-$\frac{1}{b-1}$＜0，
故选C．

点评 本题考查函数图象的画法零点的问题的转化，利用了数形结合法．属于中档题．