Question

3．如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是2，侧棱长是16，M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点．
（1）求异面直线MN与A₁C₁所成角的大小（结果用反三角表示）
（2）求直线MN与平面ACC₁A₁所成的角（结果用反三角函数表示）]．

Answer 1

分析 （1）连接BC₁，由M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点，可得MN∥BC₁，则A₁C₁B为异面直线MN与A₁C₁所成角，求解直角三角形可得异面直线MN与A₁C₁所成角；
（2）连接AC、BD交于O，则BO⊥AC，由平面ABC⊥平面A₁ACC₁，可得BO⊥平面A₁ACC₁，则∠BC₁O为直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角，即直线MN与平面ACC₁A₁所成的角，求解直角三角形得答案．

解答 解：（1）连接BC₁，∵M，N分别是棱BB₁、B₁C₁的中点，∴MN∥BC₁，
则A₁C₁B为异面直线MN与A₁C₁所成角，
连接A₁B，在△A₁BC₁中，由已知可得：${A}_{1}{C}_{1}=2\sqrt{2}$，$B{C}_{1}=\sqrt{{2}^{2}+1{6}^{2}}=2\sqrt{65}$．
∴cos∠A₁C₁B=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{65}}=\frac{\sqrt{130}}{130}$，则∠A₁C₁B=arccos$\frac{\sqrt{130}}{130}$．
即异面直线MN与A₁C₁所成角为arccos$\frac{\sqrt{130}}{130}$；
（2）连接AC、BD交于O，则BO⊥AC，
∵平面ABC⊥平面A₁ACC₁，且平面ABC∩平面A₁ACC₁=AC，
∴BO⊥平面A₁ACC₁，
连接C₁O，则∠BC₁O为直线BC₁与平面ACC₁A₁所成的角，
即直线MN与平面ACC₁A₁所成的角，
在Rt△BOC₁中，BO=$\sqrt{2}$，又$B{C}_{1}=2\sqrt{65}$，
∴sin∠BC₁O=$\frac{BO}{B{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{65}}=\frac{\sqrt{130}}{130}$，则∠BC₁O=arcsin$\frac{\sqrt{130}}{130}$．
即直线MN与平面ACC₁A₁所成的角为arcsin$\frac{\sqrt{130}}{130}$．

点评 本题考查异面直线所成角及线面角，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．