Question

7．已知函数f（x）=（sinx+cos）²+2$\sqrt{3}$sin²x
（1）求函数f（x）的最小正周期并求出单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求f（B）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1+$\sqrt{3}$，由此求得函数f（x）的最小正周期．
（2）在△ABC中，由条件利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，可得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得f（B）的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=（sinx+cos）²+2$\sqrt{3}$sin²x=1+sin2x+2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1+$\sqrt{3}$=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1+$\sqrt{3}$的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，
递增区间为[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）在△ABC中，2acosC+c=2b，∴2a•$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$+c=2b，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
∴0＜B＜$\frac{2π}{3}$，-$\frac{π}{3}$＜2B-$\frac{π}{3}$＜π，∴sin（2B-$\frac{π}{3}$）∈（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
可得f（B）∈（1，$3+\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，余弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．