已知椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦距为2.A是E的右顶点.B1.B2是E的短轴两顶点.且直线B1A的斜率与直线B2A的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．(Ⅰ)求椭圆E的方程,(Ⅱ)过E的右焦点F2作直线与E交于M.N两点.直线MA.NA与直线X=3分别交于C.D两点.设△ACD与△AMN的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．（理科）已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，A是E的右顶点，B₁、B₂是E的短轴两顶点，且直线B₁A的斜率与直线B₂A的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过E的右焦点F₂作直线与E交于M、N两点，直线MA、NA与直线X=3分别交于C、D两点，设△ACD与△AMN的面积分别记为S₁、S₂，求2S₁-S₂的最小值．

分析（I）根据题意，设P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），由P在椭圆上，则${y}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（a²-${x}_{0}^{2}$），k_PA•k_QA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，c=1，即可求得椭圆的标准方程；
（II）设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程，又直线MA的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），将x=3代入，y_C=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$，同理y_D=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$，S₁=$\frac{1}{2}$丨CD丨=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+1}$，S₂=$\frac{1}{2}$•丨AF丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，2S₁-S₂=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$-$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t（t≥1），则m²=t²-1，2S₁-S₂=3t-$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$，由函数单调递增，当t=1时，取最小值，即可求得2S₁-S₂的最小值为$\frac{3}{2}$．

解答解：（I）椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2，椭圆的焦点在x轴上，2c=2，c=1，
根据题意，设P（x₀，y₀），Q（-x₀，-y₀），
由P在椭圆上，则${y}_{0}^{2}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$（a²-${x}_{0}^{2}$），
直线B₁A的斜率与直线B₂A的斜率之积：k_PA•k_QA=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-a}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+a}$=$\frac{{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
依题意有$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
又c=1，
∴a²=4，b²=3，
故椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（II）设直线MN的方程为x=my+1，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
由韦达定理知：y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁•y₂=-$\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
又直线MA的方程为y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$（x-2），将x=3代入，
得y_C=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$=$\frac{{y}_{1}}{m{y}_{1}-1}$，同理y_D=$\frac{{y}_{2}}{m{y}_{2}-1}$，
∴丨CD丨=丨y_C-y_D丨=$\frac{丨{y}_{1}-{y}_{2}丨}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}-m（{y}_{1}+{y}_{2}）+1}$=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$丨CD丨=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{m}^{2}+1}$，S₂=$\frac{1}{2}$•丨AF丨•丨y₁-y₂丨=$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
则2S₁-S₂=3$\sqrt{{m}^{2}+1}$-$\frac{6\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令$\sqrt{{m}^{2}+1}$=t（t≥1），则m²=t²-1，
2S₁-S₂=3t-$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$，
记f（t）=3t-$\frac{6t}{3{t}^{2}+1}$，则f′（t）=3+$\frac{6（3{t}^{2}-1）}{（3{t}^{2}+1）^{2}}$＞0，
∴f（t）在[1，+∞）单调递增，从而f（t）的最小值为f（1）=$\frac{3}{2}$，
故2S₁-S₂的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式的应用，考查圆锥曲线与导数的综合应用，考查计算能力，属于中档题．

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