Question

1．已知函数f（x）=xe^x-5．
（1）试求函数f（x）的单调区间及最值
（2）设函数g（x）=|f（x-3）+5|，若方程[g（x）]²+tg（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x（x+1），利用导数判断出f（x）在（-∞，-1）上为减函数；在（-1，+∞）上为增函数，$f（x）≥f（-1）=-\frac{1}{e}，所以f{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$
（2）画出g（x）=|（x-3）e^x-3|的图象，方程有四个实数根问题可结合图象解决．$结合图象令g（x）=u，问题转化为F（u）={u^2}+tu+1在区间（0，\frac{1}{e}）与（\frac{1}{e}，+∞）$上各有一个零点，由题意F（0）＞0$\left\{\begin{array}{l}F（0）＞0\\ F（\frac{1}{e}）＜0\end{array}\right.⇒t＜-\frac{{{e^2}+1}}{e}$

解答 解：（1）∵函数f（x）=xe^x-5．
∴f′（x）=e^x（x+1），f′（x）=e^x（x+1）=0，x=-1，
f′（x）=e^x（x+1）＞0，x＞-1，
f′（x）=e^x（x+1）＜0，x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-1）上为减函数；在（-1，+∞）上为增函数，
$f（x）≥f（-1）=-\frac{1}{e}，所以f{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$，
（2）g（x）=|（x-3）e^x-3|的图象，

方程有四个实数根问题可结合图象解决．
$结合图象令g（x）=u，问题转化为F（u）={u^2}+tu+1在区间（0，\frac{1}{e}）与（\frac{1}{e}，+∞）$
上各有一个零点，由题意F（0）＞0$\left\{\begin{array}{l}F（0）＞0\\ F（\frac{1}{e}）＜0\end{array}\right.⇒t＜-\frac{{{e^2}+1}}{e}$．

点评 本题中考查了函数的性质，数形结合的思想，不等式的运用，属于综合题目，学生要有一定的综合能力．