Question

3．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的一点，且BF⊥平面ACE，AC与BD交于点G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求证：AE∥平面BFD；
（3）求三棱锥C-BFG的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥BC，AE⊥BF，由此能证明AE⊥平面BCE．
（2）推导出CE⊥BF，FG∥AE，由此能证明AE∥平面BFD．
（3）由V_CBFG=V_GBCF，能求出三棱锥C-BFG的体积．

解答 证明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，
又AE?平面ABE，∴AE⊥BC，
又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，∴AE⊥BF，
∵BC∩BF=B，且BC，BF平面BCE，
∴AE⊥平面BCE．…（4分）
（2）∵矩形ABCD中，AC与BD交于点G．
∴依题意可知点G是AC的中点．
由BF⊥平面ACE，知CE⊥BF
而BC=BE，∴点F是EC中点．
∴在△AEC中，FG∥AE
又∵FG?平面BFD，AE?平面BFD
∴AE∥平面BFD…（8分）
解：（3）∵AE∥FG且AE⊥平面BCE
∴FG⊥平面BCE，即FG⊥平面BCF
∵点G是AC中点，F是CE中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$AE=1
又知RtBCE中，CE=$\sqrt{2}BE$=$2\sqrt{2}$
BF=CF=$\frac{1}{2}$CE=$\sqrt{2}$
所以S_BCF=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1
所以V_CBFG=V_GBCF=$\frac{1}{3}$S_BCFFG=$\frac{1}{3}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．