Question

20．关于函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$），x∈R，下列结论中正确的个数是（　　）
①若f（x₁）=f（x₂），则x₁-x₂必是π的整数倍；
②函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称；
③函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{3}{2}，\frac{3}{2}$]；
④函数f（x）的解析式可写为f（x）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{2π}{3}）$．

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根据三角函数的图象关系、对称性进行判断．

解答 解：①由题意，函数的周期为π，∴若f（x₁）=f（x₂），则x₁-x₂必是π的整数倍，正确；
②x=$\frac{5π}{12}$时，f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）=-$\sqrt{3}$，∴函数f（x）的图象关于直线x=$\frac{5π}{12}$对称，正确；
③在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为[-$\frac{3}{2}$-$\sqrt{3}$]，不正确；
④函数f（x）的解析式可写为f（x）=$\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{3}sin（2x+\frac{2π}{3}）$，正确．
故选B．

点评 本题主要考查与三角函数有关的图象和性质，根据三角函数的对称性是解决本题的关键．