Question

1．已知x₁，x₂是方程e^x-mx=0的两解，其中x₁＜x₂，则下列说法正确的是（　　）

• A． x₁x₂-1＞0
• B． x₁x₂-1＜0
• C． x₁x₂-2＞0
• D． x₁x₂-2＜0

Answer 1

分析 ①当m≤0时，检验不满足条件；②当m＞0时，利用导数求得f（x）的最小值为f（lnm）＜0，可得m＞e．不妨取m=$\frac{{e}^{2}}{2}$，可得f（2）=0，又 f（0）=1＞0，f（$\frac{1}{2}$）＜0，可得x₂=2，0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，从而得到x₁•x₂ ＜1．

解答 解：令f（x）=e^x-mx，∴f′（x）=e^x-m，
①当m≤0时，f′（x）=e^x-m＞0在x∈R上恒成立，
∴f（x）在R上单调递增，不满足f（x）=e^x-mx=0有两解；
②当m＞0时，令 f′（x）=e^x-m=0，即 e^x-m=0，解得x=lnm，
∴在（-∞，lnm）上，f′（x）＜0，故f（x）在（-∞，lnm）上单调递减，
在（lnm，+∞）上，f′（x）＞0，故f（x）在（lnm，+∞）上单调递增．
∵函数f（x）=e^x-mx有两个零点x₁＜x₂，∴f（lnm）＜0，且m＞0，
∴e^lnm-mlnm=m-mlnm＜0，∴m＞e．
不妨取m=$\frac{{e}^{2}}{2}$，可得f（2）=e²-2m=0，又 f（0）=1＞0，f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{m}{2}$＜$\sqrt{e}$-$\frac{e}{2}$＜0，
∴x₂=2，0＜x₁＜$\frac{1}{2}$，∴x₁•x₂ ＜1，
故选：B．

点评 本题考查了利用导数求函数的极值，研究函数的零点问题，利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性，属于中档题．