Question

6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），当0≤x≤1时，f（x）=x²，若函数y=f（x）-x-a在[0，2]内有三个不同的零点，则实数a的取值范围为$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1），知函数f（x）是以2为周期的函数，函数y=f（x）-x-a在[0，2]内有三个不同的零点，就是函数y=f（x）与直线l：y=x+a在[0，2]内有三个不同的交点，作出图象，利用导数的几何意义可求得
y=x+a与y=x²相切时的a的值，即可得到答案．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函数f（x）是以2为周期的函数，
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当0≤x≤1时，f（x）=x²，
∴当-1≤x≤0时，f（x）=x²，
若函数y=f（x）-x-a在[0，2]内有三个不同的零点，就是函数y=f（x）与直线l：y=x+a在[0，2]内有三个不同的交点，
作图如下：

由图可知，当直线l：y=x+a过原点与（1，1）（就是直线l₁）时，l与y=x²有两个交点，此时a=0；
当l与y=x²相切时与函数y=f（x）表示的曲线有两个公共点（如图中直线l₂），由y′=2x=1，知x=$\frac{1}{2}$，y=$\frac{1}{4}$，即切点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$），代入y=x+a得：a=-$\frac{1}{4}$．
当l在直线l₁与l₂之间时，y=f（x）表示的曲线与l有三个公共点，
此时-$\frac{1}{4}$＜a＜0，
故答案为：$-\frac{1}{4}＜a＜0$．

点评 本题考查根的存在与零点个数的判断，着重考查二次函数的图象与性质，考查导数的几何意义，作图是关键，属于难题．