Question

19．已知棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F为A₁B₁的中点．
（1）求证：DE⊥C₁F；
（2）求异面直线A₁C与C₁F所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，建立空间直线坐标系，利用向量法能证明DE⊥C₁F．
（2）求出$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-a，a，-a），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（a，-$\frac{a}{2}$，0），利用向量法能求出异面直线A₁C与C₁F所成角的余弦值．

解答 证明：（1）以D为原点，建立空间直线坐标系
∵棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
E是BC的中点，F为A₁B₁的中点．
∴D（0，0，0），E（$\frac{a}{2}$，a，0），
C₁（0，a，a），F（a，$\frac{a}{2}$，a），
$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{a}{2}，a，0$），
$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（a，-$\frac{a}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{{C}_{1}F}$=$\frac{{a}^{2}}{2}-\frac{{a}^{2}}{2}+0=0$，
∴DE⊥C₁F．
解：（2）A₁（a，0，a），
C（0，a，0），C₁（0，a，a），
F（a，$\frac{a}{2}$，a），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-a，a，-a），
$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（a，-$\frac{a}{2}$，0），
设异面直线A₁C与C₁F所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{{C}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}C}|•|\overrightarrow{{C}_{1}F}|}$=$\frac{\frac{3}{2}{a}^{2}}{\sqrt{3}a•\sqrt{\frac{5}{4}}a}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴异面直线A₁C与C₁F所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角和余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．