Question

10．已知函数f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3个零点，则实数a的取值范围是$（-\frac{{\sqrt{e}}}{4}，0）$．

Answer 1

分析 利用函数的零点个数，画出两个函数的图象，通过函数的导数，通过切线的斜率关系，求解新函数的极值，推出a的范围．

解答 解：函数f（x）=e^x|x-1|-2ax+3a恰有3个零点，就是函数y=e^x|x-1|，与函数y=2ax-3a有3个交点．
当x＞1时y=e^x（x-1），是增函数．
x=0时，y=0．
当x＜1时，函数y=e^x|x-1|=e^x（1-x），
y′=-xe^x，x＜0时，y′＞0，函数是增函数，
x∈（0，1）时，函数是减函数，
函数y=e^x|x-1|的图象如图，设y=2ax-3a，与y=e^x（1-x）的切点为：（x，e^x（1-x）），
可得：$\frac{{e}^{x}（1-x）}{x-\frac{3}{2}}=2a$，x∈（0，1），
即a=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{2x-3}$，
a′=$\frac{[{e}^{x}（1-x）]′（2x-3）-2{e}^{x}（1-x）}{（2x-3）^{2}}$=$-\frac{{e}^{x}}{（2x-3）^{2}}$（2x²-5x+2），
令a′=0可得2x²-5x+2=0，解得x=$\frac{1}{2}$，x=2舍去．
x∈（0，$\frac{1}{2}$），a是减函数，x∈（$\frac{1}{2}，1$）时，a是增函数，a的最小值为：$\frac{{e}^{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2}）}}{2×\frac{1}{2}-3}$=$-\frac{\sqrt{e}}{4}$．
可得a∈（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）
故答案为：（$-\frac{\sqrt{e}}{4}$，0）．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，函数的导数的应用，考查转化思想数形结合以及计算能力．