Question

4．若A，B，C是函数f（x）=e^x+x图象上横坐标成等差数列的三个点，给出以下判断：①△ABC可能是直角三角形；②△ABC一定是钝角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC一定不是等腰三角形．其中，正确的判断是（　　）

• A． ①③
• B． ①④
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 由于函数f（x）=e^x+x，对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，由函数的定义及函数单调性进行判断即可得出正确选项，对于②正确，由函数的图象可以得出，∠ABC是钝角，②亦可由此判断出；③④可由变化率判断出．

解答 解：由于函数f（x）=e^x+x，
对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，
且横坐标依次增大，
由于此函数是一个单调递增的函数，
故由A到B的变化率要小于由B到C的变化率．（可以采用$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$＜0的解法）
可得出∠ABC一定是钝角，故①错，②对．
由于由A到B的变化率要小于由B到C的变化率，由两点间距离公式可以得出AB＜BC，
故三角形不可能是等腰三角形，
由此得出③不对，④对．
故正确的判断是：②④．
故选：D．

点评 此题考查了数列与函数的综合，求解本题的关键是反函数的性质及其变化规律研究清楚，由函数的图形结合等差数列的性质得出答案．