Question

7．设x，y，z∈R，若x+2y+z=4．
（1）求x²+y²+z²的最小值；
（2）求x²+（y-1）²+z²的最小值．

Answer 1

分析 利用柯西不等式即可求解．

解答 解：（1）由柯西不等式，
得：（x²+y²+z²）（1²+2²+1²）≥（x+2y+z）²
即：6（x²+y²+z²）≥4²，
∴x²+y²+z²≥$\frac{8}{3}$，当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$时等号成立，
故：x²+y²+z²的最小值为$\frac{8}{3}$．
（2）由柯西不等式，
得：[x²+（y-1）²+z²]（1²+2²+1²）≥（x+2y-2+z）²．
即：6[x²+（y-1）²+z²]≥4，
∴x²+（y-1）²+z²≥$\frac{2}{3}$，当且仅当$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{1}$时等号成立，
故：x²+（y-1）²+z²的最小值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了柯西不等式的运用能力，考查学生的计算能力．属于基础题．