Question

20．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AA₁=3，E为B₁C₁的中点，F在CC₁上，且C₁F=1，G在AA₁上，且AG=2．
（1）证明：DG∥平面A₁EF；
（2）设平面A₁EF与DD₁交于点H，求线段DH的长，并求出直线BH与截面A₁EFH所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）构造四边形GMCD是平行四边形，利用线线平行，证明线面平行，从而证明DG∥平面A₁EF；
（2）根据线面平行的性质定理，求出DH，建立坐标系，求出直线BH与截面A₁EFH所成角的正弦值．

解答 （1）证明：如图所示，
设M为BB₁上一点，且BM=2，连接MG、MC，易得GM∥DC，且GM=DC，
∴四边形GMCD是平行四边形，
∴DG∥CM；
在矩形B₁C₁CB中，C₁E=C₁F=1，BC=BM=2，
∴∠MCF=∠EFC=45°，∴FE∥CM，∴DG∥FE；
又DG?平面A₁EF，FE?平面A₁EF
∴DG∥平面A₁EF；
（2）解：∵DG∥平面A₁EF，DG?平面AA₁D₁D，
平面AA₁D₁D∩平面A₁EF=A₁H，
∴DG∥A₁H，∴DH=A₁G=1；
建立如图所示的坐标系，则E（2，1，0），F（2，2，1），B（2，0，3），
$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（2，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（2，2，1）
设平面A₁EF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=0}\\{2x+2y+z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-2，2），
∵$\overrightarrow{BH}$=（-2，2，-1），
∴直线BH与截面A₁EFH所成角的正弦值=|$\frac{-2-4-2}{\sqrt{1+4+4}•\sqrt{4+4+1}}$|=$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了空间中的线线与线面平行的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是综合性题目．