Question

若矩阵A有特征向量i=（）和j=（），且它们所对应的特征值分别为λ₁=2，λ₂=-1．
（1）求矩阵A及其逆矩阵A^-1；
（2）求逆矩阵A^-1的特征值及特征向量；
（3）对任意向量α=（），求（（A^-1）²⁰α．

Answer 1

【答案】分析：（1）设矩阵M=则根据矩阵A的属于λ₁=2的特征向量，矩阵A的属于λ₂=-1的特征向量，则结合特征向量的定义，由此能够求出矩阵A及其逆矩阵．
（2）根据矩阵A^-1的特征多项式求出矩阵A^-1的特征值，
（3）由于α=x+y，故（（A^-1）²⁰α=x+y，求出值即可．
解答：解：（1）解：设矩阵M=，这里a，b，c，d∈R，
则=2，
=-，解得a=2，b=0，c=0，d=-1
∴A=，A^-1=
（2）A^-1特征多项式f（λ）==（）（λ+1）=0，得λ=，或λ=-1，
当λ=时，对应的特征向量为；当λ=-1时，对应的特征向量为；
（3）由α=x+y，
∴（（A^-1）²⁰α=x+y=．
点评：本题考查矩阵的性质和应用，考查学生会利用二阶矩阵的乘法法则进行运算，会求矩阵的特征值和特征向量．