Question

已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（Ⅰ）若

OC

∥

AB

，O为坐标原点，求角α的值；
（Ⅱ）若

AC

⊥

BC

，求

1+ 2 sin(2α- π 4 )

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量共线的坐标运算即可求得角α的值；
（Ⅱ）将所求关系式中的“切”化“弦”，再利用两角和与差的正弦函数进行化简，整理即可求得答案．

解答：解：依条件有

AC

=（cosα-3，sinα），

BC

=（cosα，sinα-3），
（Ⅰ）由

OC

∥

AB

，得（cosα，sinα）∥（-3，3）⇒-3cosα-3sinα=0，
所以，tanα=-1，
α∈（

π

2

，

3π

2

），
∴α=

3π

4

．
（Ⅱ）由

AC

⊥

BC

得

AC

•

BC

=0，得cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=0，
解得sinα+cosα=

1

3

，两边平方得2sinαcosα=-

8

9

，
所以，

1+ 2 sin(2α- π 4 )

1+tanα

=

sin2α+1-cos2α

1+ sinα cosα

=

2sinαcosα+2sin2α

cosα+sinα

•cosα
=2sinαcosα=-

8

9

．
因此，原式=

8

9

-．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查向量共线的坐标运算，考查二倍角公式的应用，考查化归运算能力，属于中档题．