Question

4．已知（x，y）满足不等式$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+2≥0}\\{3x-y-4≤0}\\{x+2y+1≥0}\end{array}\right.$，z=ax+y当且仅当在点（2，2）取得最大值，则a的取值范围是（$-\frac{2}{3}，+∞$）．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，然后根据题意得到关于a的不等式，求解不等式得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+2≥0}\\{3x-y-4≤0}\\{x+2y+1≥0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y+2=0}\\{3x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得C（2，2），
化目标函数z=ax+y为y=-ax+z，
由图可知，要使z=ax+y当且仅当在点（2，2）取得最大值，
则-a$＜\frac{2}{3}$，即a$＞-\frac{2}{3}$．
∴a的取值范围是（$-\frac{2}{3}，+∞$）．
故答案为：（$-\frac{2}{3}，+∞$）．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．