Question

在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S₁，外切圆面积为S₂，则 

s1

s2

=

1

4

，推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P-ABC的内切球体积为V₁，外接球体积为V₂，则 

v1

v2

=（　　）

• A．

  1

  8

• B．

  1

  9

• C．

  1

  27

• D．

  1

  64

Answer 1

分析：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到，类比平面几何的结论，确定正四面体的外接球和内切球的半径之比，即可求得结论．

解答：解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，
如图，设正四面体的棱长为a，则AE=

3

3

a，DE=

6

3

a
设OA=R，OE=r，则R2=(

6

3

a-R)2+(

3

3

a)2
∴R=

6

4

a，r=

6

12

a
∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1
故正四面体P-ABC的内切球体积为V₁，外接球体积为V₂之比等于

1

27

故选C

点评：本题考查类比推理，考查学生的计算能力，正确计算是关键．